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Wie berechnet man die Varianz – Statistik?

Anmerkungen: Die Berechnung des Erwartungswertes ist abh├Ąngig davon, ob es sich bei X um eine diskrete oder stetige Zufallsvariable handelt.
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F├╝r die Bestimmung der Varianz Var(X) einer Zufallsvariablen X muss man zun├Ąchst ihren Erwartungswert E(X) berechnen.
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Dann ist die Varianz von X bestimmt durch folgende Formel: Var(X)=E[(X-E(X))(X-E(X))^T].
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Gilt f├╝r die Zufallsvariable X, dass E(X┬▓) kleiner als unendlich ist, so kann man die Varianz mithilfe von Var(X)=E[(X-E(X))┬▓] berechnen.
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Letztgenannte Formel kann man umschreiben, um die Berechnung zu vereinfachen: Var(X)=E[(X-E(X))┬▓]=E[X┬▓-2*X*E(X)+(E(X))┬▓]=E(X┬▓)-2*(E(X))┬▓+(E(X))┬▓=E(X┬▓)-(E(X))┬▓ (Verschiebungssatz).
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Die lineare Transformation f├╝r reelle Zahlen a und b erh├Ąlt man mittels Verschiebungssatz:
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Var(a*X+b)=E[(a*X+b-E(a*X+b))┬▓]=E[a┬▓(X-E(X))┬▓]=a┬▓*Var(X).
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Beispiel f├╝r eine diskrete Zufallsvariable X:
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Habe X folgende Wahrscheinlichkeiten: x_1=2, x_2=3, x_3=4; f(x_1)=0,3, f(x_2)=0,3, f(x_3)=0,4. Dann ist der Erwartungswert E(X)=2*0,3+3*0,3+4*0,4=3,1.
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Daraus ergibt sich die Varianz Var(X)=(2-3,1)┬▓*0,3+(3-3,1)┬▓*0,3+(4-3,1)┬▓*0,4=0,69;
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oder mit Verschiebungssatz: Var(X)=2┬▓*0,3+3┬▓*0,3+4┬▓*0,4-3,1┬▓=0,69.